（１）
(i)n個の区別がつかない何かをa,b,cという三つの入れ物に分けて入れる場合の数を考えればよい。これは、n個の○と2個の縦棒を横一列に並べる方法に対応づけることができる。（一つ目の横棒より左にある○の個数をa、一つ目の横棒と二つ目の横棒の間にある○の個数をb、二つ目の横棒の右にある○の個数をcとすると、nのa,b,cへの分配のしかたと一対一で対応している）
計n+2個の○と縦棒のうち縦棒の位置二箇所の決め方は\(_{n+2} C _2\)であるので、答えは\(\frac{(n+2)(n+1)}{2}\)。
(ii)a,b,cいずれも0であってはならないというところが(i)と異なる。そこで、n個の区別がつかない何かをa,b,cという三つの入れ物に分けて入れる際、まずa,b,cにそれぞれ1個ずつ入れてから、残りのn-3個を分配する場合の数を考える。n-3個の3つの箱への分配の仕方は(i)と同じように考えて\(_{n-1} C _2\)であるので、答えは\(\frac{(n-1)(n-2)}{2}\)。
場合の数ではこのように、別の単純化した何かに対応づけて考えることがある。このとき、ちゃんと一対一対応になっているかを納得して使えるようにしよう。
（２）
条件付き確率の問題。「帽子を忘れた」という結果があるとき、原因が「家Bで忘れた」というところにある確率を求める。これは「家Bで帽子を忘れる確率（＝帽子を忘れる、かつ、家Bで忘れる確率）」を「どこかで帽子を忘れる確率（＝帽子を忘れる確率全体）」で割ったものである。
「家Bで帽子を忘れる確率」は「家Aで帽子を忘れない、かつ家Bで帽子を忘れる確率」なので、\(\frac{4}{5}・\frac{1}{5}=\frac{4}{25}\)。
一方、「どこかで帽子を忘れる確率」は、「家Aで帽子を忘れる確率」、「家Bで帽子を忘れる確率」、「家Cで帽子を忘れる確率」の和をとってもいいが、余事象を考えると、\(1-「帽子を忘れない確率」= 1-\frac{4}{5}・\frac{4}{5}・\frac{4}{5}=\frac{61}{125}\)である。
以上より、求める条件付き確率は\(\frac{\frac{4}{25}}{\frac{61}{125}}=\frac{20}{61}\)。